發票中獎機率與期望值試算 2026

快速答案

發票期望值＝Σ(獎金 × 中獎機率)：依《統一發票給獎辦法》第 3 條與民國 115 年（2026）5-6 月期公告組數（特別獎、特獎各 1 組，頭獎至六獎各 3 組），紙本單張共通獎期望值為精確值 NT$1.0818；雲端另加專屬獎，但需以「該期雲端發票總張數」為分母，財政部未公告該數字，故僅以區間表示。請以財政部當期最新公告為準。

項目	數值
紙本發票單張期望值（共通獎）	NT$1.0818（精確值）
雲端發票單張期望值	約 NT$1.31–1.50（專屬獎部分為區間推估）
至少中一次 200 元以上（單張、共通獎）	約 0.2997%（約 1/334）
特別獎 1,000 萬單張中獎機率	1/100,000,000（8 碼全同、1 組）
雲端五百元獎組數（115 年 5-6 月期）	3,850,000 組／期

一期存幾十張發票，期望值到底多少

把一期（兩個月）持有的紙本發票與雲端發票張數輸進去，會立刻得到三件事：

1. 本期期望值合計：紙本（共通獎）+ 雲端（共通獎 + 專屬獎加碼）的統計期望值。
2. 任一獎以上的中獎機率：持有全部張數，至少中一個 NT$200 以上獎別的近似機率。
3. 千萬特別獎當選機率：持有全部張數，至少中一次千萬特別獎的機率。

針對的是想知道「我每期都存 50 張發票到底有沒有用」、「雲端發票真的比紙本划算嗎」、「千萬獎到底機率多高」的台灣消費者，以民國 115 年（2026）財政部公告的獎金結構為基礎。

雲端專屬獎為什麼拉高了期望值

統一發票每期由財政部開出共通獎號碼（特別獎 1,000 萬、特獎 200 萬、頭獎 20 萬 3 組，二獎以下對齊頭獎末位），紙本與雲端發票皆可中。除此之外，《統一發票給獎辦法》第 3-1 條另訂「雲端發票專屬獎」，僅限存於電子載具或會員載具的雲端發票才有資格中獎^[1]。

專屬獎共 4 個獎別，組數上下限由條文明定、實際組數逐期公布。以民國 115 年（2026）5-6 月期財政部公告值為例^[2]：

獎別	獎金	給獎辦法組數範圍	115 年 5-6 月期組數
百萬元獎	NT$1,000,000	1–1,000 組	30 組
千元獎	NT$2,000	1,000–100,000 組	16,000 組
八百元獎	NT$800	100,000–5,000,000 組	100,000 組
五百元獎	NT$500	100,000–5,000,000 組	3,850,000 組

五百元獎是專屬獎期望值的主要來源——385 萬組佔了全部專屬獎組數的九成以上。要注意的是，專屬獎的中獎機率＝組數 ÷ 該期雲端發票總張數，而財政部並未逐期公告雲端發票開立張數。這個分母無法從一次資料確認，因此本工具不給單一推估值，而以「50 億〜90 億張／期」的假設區間夾出上下限，雲端期望值一律以區間呈現（此區間為本站假設，非財政部公告值）。

每張只能領一個獎金

依《統一發票給獎辦法》第 6 條：「中獎統一發票，每張按其中獎獎別領取一個獎金為限」，並且「雲端發票字軌號碼同時依第三條及第三條之一中獎者，以領取一個獎金為限」。也就是說，同一張發票即使同時對中六獎與雲端五百元獎，也只能擇一領取，不會兩份都拿到。本工具的各獎別互斥計算已隱含這個限制（同一張同時中兩獎的機率極低，對期望值的影響可忽略），但對使用者而言這是必須知道的事實。

千萬特別獎到底多難中

依《統一發票給獎辦法》第 3 條，特別獎為「統一發票八位數號碼與中獎號碼完全相同者，獎金新臺幣一千萬元」，也就是單純對中 8 碼。因此對單張發票而言，中特別獎的機率就是 1 / 10^8 = 1 / 1 億（該期開出 1 組時）。

對比常見樂透：

獎項	單注 / 單張中獎機率
統一發票 特別獎 1,000 萬	1 / 1 億
統一發票 特獎 200 萬	1 / 1 億
大樂透頭獎	約 1 / 1,400 萬
威力彩頭獎	約 1 / 2,200 萬
統一發票 200 元以上（任一）	約 1 / 334

「比樂透高」的常見說法指的是「期望投入金額相對極小」（消費開立發票本身不額外花錢），而非單張機率比樂透高。實際上單張中特別獎的機率比大樂透頭獎還低約 7 倍，但因為使用發票即送，故被視為「免費的樂透」。

一張發票的中獎期望值是怎麼算出來的

每張發票的期望值 = Σ(獎金 × 中獎機率)。

# 共通獎（精確值）：對中某一組中獎號碼末 N 位的機率 = 10^-N
恰好中該獎 / 張機率 = 組數 × (N = 8 ? 10^-8 : 9 × 10^-(N+1))
  特別獎・特獎・頭獎 N=8 / 二獎 N=7 / 三獎 N=6 / 四獎 N=5 / 五獎 N=4 / 六獎 N=3

# 雲端專屬獎（區間推估）
雲端專屬獎 / 張機率 = 該期組數 / 該期雲端發票總張數（分母未公告，本工具以 50 億〜90 億張夾出區間）

紙本期望值 = 紙本張數 × Σ(獎金 × 共通獎/張機率)
雲端期望值 = 雲端張數 × Σ(獎金 × 共通獎/張機率) + 雲端張數 × Σ(獎金 × 專屬獎/張機率區間)

# 至少中一次 200 元以上：二獎～六獎都對齊頭獎號碼，
# 因此能靠末 3 碼中獎的號碼組數 = 六獎組數（＝頭獎組數）= 3 組
任一獎中獎機率 = 1 - (1 - 10^-3)^(六獎組數 × 張數) × (1 - 10^-8)^(特別獎+特獎組數 × 張數)

以 115 年（2026）5-6 月期公告組數（特別獎 1 組、特獎 1 組、頭獎至六獎各 3 組）計算，紙本單張共通獎期望值 = NT$1.0818，其中光是六獎就佔了 NT$0.54（將近一半）。雲端發票總張數財政部未逐期公告，故雲端專屬獎部分以區間表示^[2]。

純紙本、純雲端、混合使用的期望值差多少

A. 只用紙本發票、每期累積 50 張

紙本期望值 = 50 × 1.0818 ≈ NT$54。至少中一次 200 元以上的機率約 13.9%，差不多 7 期（約一年又兩個月）才中一次。特別獎在這個張數下基本可忽略（5 / 1,000 萬）。

B. 平常存雲端發票，每期累積 100 張

雲端期望值 ≈ NT$131〜150（其中共通獎 NT$108 為精確值、專屬獎 NT$23〜41 為區間推估）。共通獎部分至少中一次的機率約 25.9%，大約每 4 期會中 1 次；再加上專屬獎，實際頻率會比這個數字高一些。

C. 每期 30 張紙本 + 200 張雲端（重度使用者）

合計期望值 ≈ 紙本 NT$32 + 雲端 NT$262〜299 ≈ NT$295〜331。共通獎至少中一次的機率約 49.9%，特別獎機率約 2.3 / 100 萬（仍極低）。

關於發票中獎，最多人想錯的幾件事

• 「我中過 5 次 NT$200，所以發票機率不低」——是統計期望值符合預期。二獎至六獎都對齊頭獎的號碼，所以能靠末 3 碼中獎的號碼只有 3 組（＝頭獎組數），每組機率 1/1,000，單張中 200 元以上約 1/334。也就是要存到 300 多張，期望上才會中 1 次。
• 「同一張同時中六獎和雲端五百元獎，可以領兩份」——不行。給獎辦法第 6 條明定「每張按其中獎獎別領取一個獎金為限」，雲端發票同時依第 3 條與第 3-1 條中獎時也「以領取一個獎金為限」。
• 「雲端發票要先綁定載具才能中專屬獎」——存到手機條碼、會員載具皆算雲端，但未中獎前就要綁定，臨時補登可能無效。中獎後獎金匯入需另行綁定金融帳戶。
• 「千元獎組數 1.6 萬看起來多，期望值卻不顯眼」——因為雲端發票分母太大，期望值貢獻僅約 NT$0.004-0.006/張，專屬獎的貢獻仍以五百元獎（385 萬組）為主。順帶一提，條文上的「千元獎」獎金其實是 NT$2,000，這是給獎辦法原文。
• 組數逐期公布、會變動——各獎別的獎金由《統一發票給獎辦法》明定，但組數依第 3 條第 2 項「由專責單位於首期開獎前公布」，本工具採 115 年（2026）5-6 月期公告值^[2]。
• 領獎期限不是「開獎日起 3 個月」——依給獎辦法第 8 條，是「開獎日之次月六日起三個月內」。例如 115 年 5-6 月期於 7 月 25 日開獎，領獎期間為 115 年 8 月 6 日至 11 月 5 日。逾期依第 11 條不予給獎。雲端發票若已歸戶並設定匯款帳戶，則由財政部直接匯入。
• 獎金「超過」5,000 元才扣 20%，且是分離課稅——依財政部稅務入口網說明，門檻是「每聯（組、注）獎額超過新臺幣 5,000 元」，所以獎額剛好 5,000 元不扣繳（四獎 4,000、五獎 1,000、六獎 200 都免扣；三獎 10,000 起才會被扣）。扣繳後不併入綜合所得總額，扣繳稅款也不能抵繳或退還。完整說明見統一發票中獎機率與期望值指南。

延伸閱讀

下面這幾篇指南文章，把這個計算機背後的制度與決策邏輯講得更完整：

• 統一發票中獎機率與期望值｜獎金表、兌獎期限、扣稅

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免責事項

本試算為統計期望值，個別中獎情形屬於樂透型隨機分配，並非保證每期收益。共通獎的組數採財政部民國 115 年（2026）5-6 月期公告值，期望值為精確值；雲端專屬獎的機率分母（該期雲端發票總張數）財政部未公告，本工具以假設區間推估，該區間非官方數字。組數逐期變動，實際開獎結果與獎金以財政部稅務入口網公告為準。

出處

1. 《統一發票給獎辦法》第 3 條（獎別、獎金、開獎日、組數公布）、第 3-1 條（雲端發票專屬獎）、第 6 條（每張限領一個獎金）、第 8 條（領獎期間）、第 11 條（不予給獎）— 全國法規資料庫
2. 財政部〈115 年 5-6 月期統一發票中獎號碼〉各獎別實際組數與領獎期間 — mof.gov.tw
3. 財政部稅務入口網〈統一發票中獎號碼單〉每期公告 — invoice.etax.nat.gov.tw
4. 財政部稅務入口網〈競技競賽及機會中獎的獎金或給與如何辦理扣繳？〉— etax.nat.gov.tw
5. 財政部電子發票整合服務平台 — einvoice.nat.gov.tw

— 最後檢視：2026 年 8 月（民國 115 年），已依《統一發票給獎辦法》第 3 條的獎別列舉逐項核對，刪除本站先前誤植的「增開六獎」（該獎別不存在於給獎辦法，也不見於 115 年 5-6 月期公告），並據此重算全部期望值與機率；同時補上第 6 條「每張限領一個獎金」。當主管機關公告新的獎金結構或組數時，本頁將同步更新。